复杂度分析

April 30, 2022 5009

参考学习自·数据结构与算法之美

事后统计法

这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

局限性:

  1. 测试结果非常依赖测试环境
  2. 测试结果受数据规模的影响很大

我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。

大 O 复杂度表示法

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int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)unit_time。

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比

大 O 时间复杂度表示法

  1. T(n) 表示代码执行的时间；
  2. n 表示数据规模的大小；
  3. f(n) 表示每行代码执行的次数总和。
  4. 公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

如何分析一段代码的时间复杂度？

  1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

    大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

  2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

    总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度

    如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))，那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

  3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

    如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))，那么 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n))

几种常见时间复杂度实例分析

多项式量级和非多项式量级，其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)

越高阶复杂度的算法，执行效率越低

时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

  1. O(1)

    O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码

    只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)

  2. O(logn)、O(nlogn)

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    i=1;
    while (i <= n)  {
      i = i * 2;
    }

    变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2，当大于 n 时，循环结束

    变量 i 的取值就是一个等比数列

    通过 2x=n 求解 x，x=log2n

    所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)

    在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))

    log3n 就等于 log32 log2n，所以 O(log3n) = O(C log2n)，其中 C=log32 是一个常量。可以直接忽略

    O(log2n) 就可以直接表示为 O(logn)

    因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

  3. O(m+n)、O(m*n)

    代码的复杂度由两个数据的规模来决定

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    int cal(int m, int n) {
      int sum_1 = 0;
      int i = 1;
      for (; i < m; ++i) {
        sum_1 = sum_1 + i;
      }

      int sum_2 = 0;
      int j = 1;
      for (; j < n; ++j) {
        sum_2 = sum_2 + j;
      }

      return sum_1 + sum_2;
    }

    m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)

空间复杂度分析

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

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void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 2 行代码中，申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。

第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )

浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

最好、最坏情况时间复杂度

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// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

平均情况时间复杂度

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// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：

时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)

加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度

要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。

假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

均摊时间复杂度

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// array表示一个长度为n的数组
// 代码中的array.length就等于n
int[] array = new int[n];
int count = 0;

void insert(int val) {
  if (count == array.length) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
      sum = sum + array[i];
    }
    array[0] = sum;
    count = 1;
  }

  array[count] = val;
  ++count;
}

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能

当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。

最好情况时间复杂度:最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。

最坏情况时间复杂度:最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

平均情况时间复杂度：假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度

每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度

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