图

May 22, 2022 10920

图

如何理解“图”？

图（Graph）和树比起来，这是一种更加复杂的非线性表结构。

图中的元素就叫做顶点（vertex），图中的一个顶点可以与任意其他顶点建立连接关系。这种建立的关系叫做边（edge）。跟顶点相连接的边的条数叫做顶点的度（degree）。

边有方向的图叫做“有向图”。边没有方向的图就叫做“无向图”。

在有向图中，我们把度分为入度（In-degree）和出度（Out-degree）。

顶点的入度，表示有多少条边指向这个顶点；顶点的出度，表示有多少条边是以这个顶点为起点指向其他顶点。

带权图（weighted graph）。在带权图中，每条边都有一个权重（weight）。

邻接矩阵存储方法

图最直观的一种存储方法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。

邻接矩阵的底层依赖一个二维数组。对于无向图来说，如果顶点 i 与顶点 j 之间有边，我们就将 A[i][j]和 A[j][i]标记为 1；对于有向图来说，如果顶点 i 到顶点 j 之间，有一条箭头从顶点 i 指向顶点 j 的边，那我们就将 A[i][j]标记为 1。同理，如果有一条箭头从顶点 j 指向顶点 i 的边，我们就将 A[j][i]标记为 1。对于带权图，数组中就存储相应的权重。

优点：

邻接矩阵的存储方式简单、直接，因为基于数组，所以在获取两个顶点的关系时，就非常高效。
其次，用邻接矩阵存储图的另外一个好处是方便计算。这是因为，用邻接矩阵的方式存储图，可以将很多图的运算转换成矩阵之间的运算。

缺点：

对于无向图来说，如果 A[i][j]等于 1，那 A[j][i]也肯定等于 1

无向图的二维数组中，如果我们将其用对角线划分为上下两部分，那只需要利用上面或者下面这样一半的空间就足够了，另外一半白白浪费掉了。
如果存储的是稀疏图（Sparse Matrix），顶点很多，但每个顶点的边并不多，那邻接矩阵的存储方法就更加浪费空间了。

邻接表存储方法

邻接表

每个顶点对应一条链表，链表中存储的是与这个顶点相连接的其他顶点。

有向图的邻接表存储方式，每个顶点对应的链表里面，存储的是指向的顶点

无向图的邻接表存储方式，每个顶点的链表中存储的，是跟这个顶点有边相连的顶点

图的算法实现

public class Graph { // 无向图
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i<v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) { // 无向图一条边存两次
    adj[s].add(t);
    adj[t].add(s);
  }
}

逆邻接表

逆邻接表中，每个顶点的链表中，存储的是指向这个顶点的顶点

“搜索”算法？

算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First-Search，简称 BFS）。直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。

public void bfs(int s, int t) {
  if (s == t) return;
  //visited 是用来记录已经被访问的顶点
  boolean[] visited = new boolean[v];
  visited[s]=true;
  //queue 是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点
  Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
  queue.add(s);
  //prev 用来记录搜索路径
  int[] prev = new int[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    prev[i] = -1;
  }
  while (queue.size() != 0) {
   int w = queue.poll();
   for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
      int q = adj[w].get(i);
      if (!visited[q]) {
        prev[q] = w;
        if (q == t) {
          print(prev, s, t);
          return;
        }
        visited[q] = true;
        queue.add(q);
      }
    }
  }
}

private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s->t的路径
  if (prev[t] != -1 && t != s) {
    print(prev, s, prev[t]);
  }
  System.out.print(t + " ");
}

其中 s 表示起始顶点，t 表示终止顶点。搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上，这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。

visited 是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问，那相应的 visited[q]会被设置为 true。

queue 是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第 k 层的顶点都访问完成之后，才能访问第 k+1 层的顶点。当我们访问到第 k 层的顶点的时候，我们需要把第 k 层的顶点记录下来，稍后才能通过第 k 层的顶点来找第 k+1 层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。

prev 用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始，广度优先搜索到顶点 t 后，prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w]存储的是，顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3，那 prev[3]就等于 2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印，你可以看下 print() 函数的实现方式。

最坏情况时间复杂度：最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。

空间复杂度：广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search，简称 DFS）

实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退

//当已经找到终止顶点 t 之后，就不再递归地继续查找了。
boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量

public void dfs(int s, int t) {
  found = false;
  boolean[] visited = new boolean[v];
  int[] prev = new int[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    prev[i] = -1;
  }
  recurDfs(s, t, visited, prev);
  print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
  if (found == true) return;
  visited[w] = true;
  if (w == t) {
    found = true;
    return;
  }
  for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) {
    int q = adj[w].get(i);
    if (!visited[q]) {
      prev[q] = w;
      recurDfs(q, t, visited, prev);
    }
  }
}

时间复杂度：每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E 表示边的个数。

空间复杂度：深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是 O(V)。

拓扑排序

拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

每个顶点出现且只出现一次。
若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图

public class Graph {
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i<v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) { // s先于t，边s->t
    adj[s].add(t);
  }
}

Kahn 算法

贪心算法思想

定义数据结构的时候，如果 s 需要先于 t 执行，那就添加一条 s 指向 t 的边。

如果某个顶点入度为 0，也就表示，没有任何顶点必须先于这个顶点执行，那么这个顶点就可以执行了。

先从图中，找出一个入度为 0 的顶点，将其输出到拓扑排序的结果序列中，并且把这个顶点从图中删除（也就是把这个顶点可达的顶点的入度都减 1）。

循环执行上面的过程，直到所有的顶点都被输出。最后输出的序列，就是满足局部依赖关系的拓扑排序。

public void topoSortByKahn() {
  int[] inDegree = new int[v]; // 统计每个顶点的入度
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int w = adj[i].get(j); // i->w
      inDegree[w]++;
    }
  }
  LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
  for (int i = 0; i < v; ++i) {
    if (inDegree[i] == 0) queue.add(i);
  }
  while (!queue.isEmpty()) {
    int i = queue.remove();
    System.out.print("->" + i);
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int k = adj[i].get(j);
      inDegree[k]--;
      if (inDegree[k] == 0) queue.add(k);
    }
  }
}

时间复杂度：

每个顶点被访问了一次，每个边也都被访问了一次，所以，Kahn 算法的时间复杂度就是 O(V+E)（V 表示顶点个数，E 表示边的个数）。

DFS 算法

public void topoSortByDFS() {
  // 先构建逆邻接表，边s->t表示，s依赖于t，t先于s
  LinkedList<Integer> inverseAdj[] = new LinkedList[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 申请空间
    inverseAdj[i] = new LinkedList<>();
  }
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 通过邻接表生成逆邻接表
    for (int j = 0; j < adj[i].size(); ++j) {
      int w = adj[i].get(j); // i->w
      inverseAdj[w].add(i); // w->i
    }
  }
  boolean[] visited = new boolean[v];
  for (int i = 0; i < v; ++i) { // 深度优先遍历图
    if (visited[i] == false) {
      visited[i] = true;
      dfs(i, inverseAdj, visited);
    }
  }
}

private void dfs(
    int vertex, LinkedList<Integer> inverseAdj[], boolean[] visited) {
  for (int i = 0; i < inverseAdj[vertex].size(); ++i) {
    int w = inverseAdj[vertex].get(i);
    if (visited[w] == true) continue;
    visited[w] = true;
    dfs(w, inverseAdj, visited);
  } // 先把vertex这个顶点可达的所有顶点都打印出来之后，再打印它自己
  System.out.print("->" + vertex);
}

第一部分是通过邻接表构造逆邻接表。

邻接表中，边 s->t 表示 s 先于 t 执行，也就是 t 要依赖 s。在逆邻接表中，边 s->t 表示 s 依赖于 t，s 后于 t 执行。

第二部分是递归处理每个顶点。

对于顶点 vertex 来说，先输出它可达的所有顶点，也就是说，先把它依赖的所有的顶点输出了，然后再输出自己。

时间复杂度：

每个顶点被访问两次，每条边都被访问一次，所以时间复杂度也是 O(V+E)。

最短路径算法

将整个地图抽象成一个有向有权图

public class Graph { // 有向有权图的邻接表表示
  private LinkedList<Edge> adj[]; // 邻接表
  private int v; // 顶点个数

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    this.adj = new LinkedList[v];
    for (int i = 0; i < v; ++i) {
      this.adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t, int w) { // 添加一条边
    this.adj[s].add(new Edge(s, t, w));
  }

  private class Edge {
    public int sid; // 边的起始顶点编号
    public int tid; // 边的终止顶点编号
    public int w; // 权重
    public Edge(int sid, int tid, int w) {
      this.sid = sid;
      this.tid = tid;
      this.w = w;
    }
  }
  // 下面这个类是为了dijkstra实现用的
  private class Vertex {
    public int id; // 顶点编号ID
    public int dist; // 从起始顶点到这个顶点的距离
    public Vertex(int id, int dist) {
      this.id = id;
      this.dist = dist;
    }
  }
}

Dijkstra 算法

// 因为Java提供的优先级队列，没有暴露更新数据的接口，所以我们需要重新实现一个
private class PriorityQueue { // 根据vertex.dist构建小顶堆
  private Vertex[] nodes;
  private int count;
  public PriorityQueue(int v) {
    this.nodes = new Vertex[v+1];
    this.count = v;
  }
  public Vertex poll() { // TODO: 留给读者实现... }
  public void add(Vertex vertex) { // TODO: 留给读者实现...}
  // 更新结点的值，并且从下往上堆化，重新符合堆的定义。时间复杂度O(logn)。
  public void update(Vertex vertex) { // TODO: 留给读者实现...} 
  public boolean isEmpty() { // TODO: 留给读者实现...}
}

public void dijkstra(int s, int t) { // 从顶点s到顶点t的最短路径
  int[] predecessor = new int[this.v]; // 用来还原最短路径
  Vertex[] vertexes = new Vertex[this.v];
  for (int i = 0; i < this.v; ++i) {
    vertexes[i] = new Vertex(i, Integer.MAX_VALUE);
  }
  PriorityQueue queue = new PriorityQueue(this.v);// 小顶堆
  boolean[] inqueue = new boolean[this.v]; // 标记是否进入过队列
  vertexes[s].dist = 0;
  queue.add(vertexes[s]);
  inqueue[s] = true;
  while (!queue.isEmpty()) {
    Vertex minVertex= queue.poll(); // 取堆顶元素并删除
    if (minVertex.id == t) break; // 最短路径产生了
    for (int i = 0; i < adj[minVertex.id].size(); ++i) {
      Edge e = adj[minVertex.id].get(i); // 取出一条minVetex相连的边
      Vertex nextVertex = vertexes[e.tid]; // minVertex-->nextVertex
      if (minVertex.dist + e.w < nextVertex.dist) { // 更新next的dist
        nextVertex.dist = minVertex.dist + e.w;
        predecessor[nextVertex.id] = minVertex.id;
        if (inqueue[nextVertex.id] == true) {
          queue.update(nextVertex); // 更新队列中的dist值
        } else {
          queue.add(nextVertex);
          inqueue[nextVertex.id] = true;
        }
      }
    }
  }
  // 输出最短路径
  System.out.print(s);
  print(s, t, predecessor);
}

private void print(int s, int t, int[] predecessor) {
  if (s == t) return;
  print(s, predecessor[t], predecessor);
  System.out.print("->" + t);
}

用 vertexes 数组，记录从起始顶点到每个顶点的距离（dist）

首先将所有顶点的 dist 都初始化为无穷大（Integer.MAX_VALUE），起始顶点的 dist 值初始化为 0，然后将其放到优先级队列中。
从优先级队列中取出 dist 最小的顶点 minVertex，然后考察这个顶点可达的所有顶点（nextVertex）
如果 minVertex 的 dist 值加上 minVertex 与 nextVertex 之间边的权重 w 小于 nextVertex 当前的 dist 值，也就是说，存在另一条更短的路径，它经过 minVertex 到达 nextVertex。把 nextVertex 的 dist 更新为 minVertex 的 dist 值加上 w。把 nextVertex 加入到优先级队列中。
重复这个过程，直到找到终止顶点 t 或者队列为空。

predecessor 数组的作用是为了还原最短路径，它记录每个顶点的前驱顶点。最后，通过递归的方式，将这个路径打印出来。

inqueue 数组是为了避免将一个顶点多次添加到优先级队列中。更新了某个顶点的 dist 值之后，如果这个顶点已经在优先级队列中了，就不要再将它重复添加进去了。

Dijkstra 算法

时间复杂度

while 循环最多会执行 V 次（V 表示顶点的个数），而内部的 for 循环的执行次数不确定，跟每个顶点的相邻边的个数有关，分别记作 E0，E1，E2，……，E(V-1)。如果把这 V 个顶点的边都加起来，最大也不会超过图中所有边的个数 E（E 表示边的个数）。

for 循环内部的代码涉及从优先级队列取数据、往优先级队列中添加数据、更新优先级队列中的数据，这样三个主要的操作。优先级队列是用堆来实现的，堆中的这几个操作，时间复杂度都是 O(logV)（堆中的元素个数不会超过顶点的个数 V）。

时间复杂度就是 O(E*logV)

本文作者：bobo
本文链接：https://boyolo.github.io/article/47098.html
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