递归

如何理解“递归”？

递归需要满足的三个条件

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解

   子问题就是数据规模更小的问题

2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样

3. 存在递归终止条件

   把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。

如何编写递归代码？

写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件

写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

递归代码要警惕堆栈溢出

函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。

问题：如何避免出现堆栈溢出呢？

可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。

但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。

递归代码要警惕重复计算

为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算。

1. 在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个可观的时间成本。
2. 在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据。